A. Podstawy, Geometria i Topologia, Algebra
- Działania na zbiorach. Prawa rachunku zbiorów, w tym prawa de Morgana.
- Relacje równoważności i zasada abstrakcji.
- Zbiór liczb naturalnych i indukcja matematyczna.
- Elementy kombinatoryki - kombinacje, permutacje i wariacje. Dwumian Newtona.
- Moc zbioru. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Twierdzenie Cantora o zbiorze potęgowym.
- Zbiory uporządkowane, dobre porządki.
- Prawa rachunku zdań i kwantyfikatorów.
- Funkcje jako relacje. Podstawowe własności funkcji.
- Definicja i przykłady przestrzeni metrycznej. Zbiory domknięte i otwarte w przestrzeni metrycznej.
- Przestrzenie zupełne, zwarte - definicje, przykłady i własności.
- Przestrzeń liniowa i jej podprzestrzenie – definicje, własności i przykłady.
- Układy wektorów liniowo zależne i liniowo niezależne, baza i wymiar przestrzeni liniowej - definicje i przykłady.
- Przekształcenie liniowe – definicja, własności i przykłady. Izomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz przekształcenia liniowego.
- Macierze i działania na macierzach. Pojęcia rzędu macierzy oraz wyznacznika macierzy kwadratowej.
- Definicja układu równań liniowych (jednorodnych i niejednorodnych). Twierdzenie Kroneckera – Capelliego. Wzory Cramera.
- Funkcjonały i formy liniowe oraz dwuliniowe - definicje, przykłady. Funkcjonały symetryczne. Macierz funkcjonału dwuliniowego w danej bazie.
- Iloczyn skalarny – definicja, własności i przykłady. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie metryczne.
- Grupy i podgrupy – definicje i przykłady. Warstwy, twierdzenie Lagrange’a.
- Homomorfizmy i izomorfizmy grup, jądro homomorfizmu - definicje i przykłady.
- Podgrupa normalna, grupa ilorazowa i twierdzenie o homomorfizmie.
- Grupy cykliczne i abelowe - definicje i przykłady.
- Pierścień, podpierścień, dzielniki zera i elementy odwracalne.
- Ideały w pierścieniach i ich związek z homomorfizmami. Pierścień ilorazowy.
- Pierścień wielomianów, pierwiastki wielomianów. Wielomiany nierozkładalne. Nierozkładalność w R[x] i C[x].
- Ciała. Ciało liczb zespolonych. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Zasadnicze twierdzenie algebry.
B. Analiza i rachunek prawdopodobieństwa
- Podstawowe twierdzenia o ciągach zbieżnych. Liczba e.
- Szereg liczbowy. Kryteria zbieżności szeregów.
- Szereg zbieżny bezwzględnie i szereg zbieżny warunkowo. Własności.
- Definicja granicy funkcji w sensie Cauchy’ego i w sensie Heinego. Granice jednostronne.
- Definicja funkcji ciągłej w punkcie i w zbiorze. Własności funkcji ciągłych.
- Definicja ciągu Cauchy’ego. Własności ciągów Cauchy’ego.
- Definicja pochodnej funkcji w punkcie, interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej.
- Własności pochodnej funkcji. Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a.
- Wzór Taylora. Zastosowanie wzoru Taylora.
- Ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej. Warunki istnienia ekstremów.
- Pojęcie wypukłości, wklęsłości oraz punktów przegięcia funkcji. Związek z drugą pochodną.
- Asymptoty funkcji. Warunki istnienia asymptot funkcji.
- Szeregi potęgowe. Promień i przedział zbieżności. Przykłady rozwinięć funkcji w szereg potęgowy.
- Definicja całki nieoznaczonej. Całkowanie przez części i przez podstawienie.
- Definicja całki oznaczonej. Interpretacja geometryczna. Warunki całkowalności funkcji. Podstawowy wzór rachunku całkowego.
- Definicja pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych. Gradient - definicja i interpretacja geometryczna.
- Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
- Całka podwójna, jej interpretacja geometryczna. Całkowanie po obszarach normalnych.
- Definicja równania różniczkowego zwyczajnego I rzędu. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Zagadnienie Cauchy’ego.
- Podstawowe rodzaje równań różniczkowych I rzędu, metody rozwiązywania.
- Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa i własności prawdopodobieństwa.
- Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa.
- Definicja rozkładu dyskretnego i ciągłego zmiennej losowej oraz przykłady rozkładów (w tym Bernoullie'go, Poissona i normalnego).
- Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej oraz ich własności.
- Zmienne losowe niezależne. Słabe prawo wielkich liczb. Prawo wielkich liczb w postaci Bernoulliego.