- Odwzorowania różniczkowalne. Macierz Jacobiego. Dyfeomorfizm.
- Odwzorowania uwikłane. Twierdzenie o odwzorowaniach uwikłanych.
- σ- ciało. Miara określona na σ- ciele. Zbiory mierzalne. Miara Lebesgue’a.
- Funkcje mierzalne. Twierdzenie o aproksymacji funkcji mierzalnych funkcjami prostymi.
- Całka Lebesgue’a. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Twierdzenie Fubiniego.
- Całka krzywoliniowa niezorientowana i całka powierzchniowa niezorientowana – definicje i zastosowania.
- Całka krzywoliniowa zorientowana. Niezależność całki od drogi całkowania. Wzór Greena.
- Całka powierzchniowa zorientowana. Twierdzenie Stokesa. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Wzór Stokesa.
- Równania Cauchy-Riemanna oraz ich związek z różniczkowalnością funkcji zespolonej.
- Funkcja homograficzna. Punkty symetryczne względem okręgu. Związek pomiędzy homograficznymi obrazami okręgu i punktów symetrycznych.
- Definicje i własności funkcji: exp(z), sinz, cosz.
- Twierdzenie całkowe Cauchy'ego oraz twierdzenie odwrotne do niego.
- Punkty osobliwe funkcji zespolonej. Residuum funkcji.
- Wzór całkowy Cauchy'ego. Przykłady zastosowań.
- Szereg Laurenta.
- Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu pierwszego. Twierdzenie o równoważności pojęcia całki układu równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego i rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego.
- Równanie falowe. Równanie struny drgającej. Warunki początkowe i brzegowe.
- Równanie Laplace'a. Funkcje harmoniczne. Warunki brzegowe. Zagadnienia Dirichleta i Neumanna.
- Podstawowe własności funkcji harmonicznych. Zasada maximum dla funkcji harmonicznych. Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Dirichleta.
- Przestrzeń liniowa unormowana. Uzupełnienie przestrzeni liniowej unormowanej. Przestrzeń Banacha.
- Operatory liniowe ograniczone. Norma operatora liniowego ograniczonego. Operatory liniowe ograniczone ciągłe odwracalne. Twierdzenie Banacha o izomorfizmie.
- Przestrzeń z iloczynem skalarnym. Nierówność Cauchy-Buniakowskiego-Schwarza i tożsamość równoległoboku. Przestrzeń Hilberta.
- Twierdzenia o rzucie ortogonalnym i o rozkładzie ortogonalnym. Operator rzutu ortogonalnego.
- Układy ortonormalne. Szereg Fouriera względem układu ortonormalnego i kryterium Riesza-Fishera o jego zbieżności. Nierówność Bessela.
- Bazy Hilberta, tożsamość Parcevala. Trygonometryczne szeregi Fouriera jako bazy Hilberta.
- Pojęcie teorii, twierdzenia i dowodu. Twierdzenie o skończoności dowodu i o dedukcji.
- Teorie niesprzeczne i zupełne, rozstrzygalność formuły w teorii i niezależność formuły od teorii. Twierdzenie Lindenbauma.
- Twierdzenia o dowodach nie wprost i dowodach przez sprowadzanie do niedorzeczności.
- Model teorii. Twierdzenia o zwartości i pełności. Twierdzenie Skolema – Löwenheima.
- Definicja metryki i przestrzeni metrycznej. Przykłady metryk.
- Definicja przestrzeni topologicznej. Topologia wprowadzona przez metrykę. Czy przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną?
- Pojęcia zbioru otwartego i zbioru domkniętego w przestrzeni topologicznej oraz w przestrzeni metrycznej.
- Definicja, własności i przykłady zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych.
- Definicja, własności i przykłady zbiorów spójnych w przestrzeniach metrycznych.
- Przestrzenie metryczne zupełne, definicja, własności i przykłady takich przestrzeni.
- Pojęcia ciągłości przekształceń przestrzeni metrycznych w przestrzenie metryczne.
- Pojęcia granicy i punktu skupienia ciągu oraz ciągu Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej. Związki między tymi pojęciami.
- Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru w przestrzeni metrycznej oraz w przestrzeni topologicznej.
- Hipoteza Riemanna.
- Chińskie twierdzenie o resztach, jego uogólnienie do pierścieni przemiennych, zastosowanie.
- Ułamki łańcuchowe i ich zastosowanie.
- Symetryczne i asymetryczne systemy kryptograficzne. Algorytm RSA
- Logarytmy dyskretne i ich znaczenie kryptograficzne.